傅里叶分析，一段历史¶

傅里叶分析是信号处理中最基本的，也是最核心的内容之一。这种分析方法得名于法国数学家、物理学家——让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日－1830年5月16日）。实际上，傅里叶分析不仅仅应用于信号处理领域。作为数学分析的一个重要分支，傅里叶分析在很多的工程领域（如图像处理、计量经济、震动分析、声学、光学等）都有非常广泛的应用。

傅里叶分析发源于对三角函数的研究。在傅里叶之前，人们很早就已经认识到可以用三角函数来表示复杂的周期信号。甚至在古巴比伦和古埃及时期，人们就开始用这种方法来预测天文事件。在近代科学史上，十八世纪伟大的数学家欧拉重新使这种方法走进人们的视野。当时他在研究声波传播问题的时候，发现可以将传播函数分解为多个正弦函数之和。同时代的伟大数学家拉格朗日扩展了欧拉的思想，将其应用于天体轨道的观察和预测中。在拉格朗日那里，这种函数的三角函数分解更多的是一种插值的方法，即通过 $N$ 个天体运行的轨道位置来确定插值系数，然后利用这个公式来预测整个运行轨道。但当时的这些数学家都面临着一个问题，即在不连续的情况下，信号是否还能用这种方法分解？限于当时客观条件，即便拉格朗日也认为无穷多个正弦信号之和必定是平滑的，因而不平滑的信号不能用这种方法来分解。这导致了当时几乎所有的数学家对这种方法失去了兴趣。但有一个人例外，这就是我们的主人公傅里叶。

图. 傅里叶男爵

1768年3月21日，傅里叶出生在法国中部约讷（Youue）河畔的奥赛尔（Auxerre）的一个裁缝家庭里，自幼因家口众多，境况不佳，八岁父母双亡，沦为孤儿，被当地教堂收养。十二岁由一主教送入地方军事学校读书。傅里叶在幼小的时候，已显示出了优秀的数学才能，具有强烈的学习数学的愿望。但是当时开设数学科目的学校只有陆军学校，而在法国要正式进入这类学校，必须是富豪、名门的子弟，傅里叶望尘莫及。曾有材料记载：傅里叶因出身低下，被拒绝加入炮兵。在他的申请书上签批着：“傅里叶出身不高贵，不得加入炮兵，虽然他是第二个牛顿。”当得知做修道士可以学到知识的时候，他毅然进入了修道院，在修道院里，抓紧一切时间，刻苦钻研数学。

1789 年，法国发生了资产阶级大革命，打破了只有富豪、名门子弟入学的制度，傅里叶终于有可能到巴黎科学院阅读数学论文。在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱。大革命结束之后，他进入著名的巴黎高等师范专科学校，师从拉格朗日和拉普拉斯学习数学。随后在巴黎综合工科学校任数学教授，开始在数学教育领域崭露头角。在随之而来的拿破仑时期，傅里叶被迫暂时放弃了数学的梦想，他加入了拿破仑的埃及远征军，并在开罗负责过对埃及的考古工作。随着这次远征的结束，傅里叶回到法国，重新开始其在巴黎综合工科学校的教授生涯。但时间不长，因其管理能力得到拿破仑的欣赏，傅里叶被任命为伊泽尔地区的最高行政长官。在做好行政工作的同时，傅里叶却一刻也没有忘记埃及考古学，更没有忘记他所一直钟爱的数学。

在1807年，当他把自己在热传导研究中发现的关于信号的三角函数展开的方法，也即是现在所说的傅里叶级数，写成论文投寄给法国科学院巴黎学会期刊时，却被无情拒绝。负责审稿的包括他的恩师，大名鼎鼎的拉格朗日和拉普拉斯。拉格朗日给出的理由仍然是信号的不连续性。为此，傅里叶专门写了一本书来回答拉格朗日所提出的问题。但很遗憾的是，即便是一本书，也没有对不连续的问题作出严格的数学证明。

微积分告诉我们“从静止看运动，从有限看无限，从近似看精确，从量变看质变”，现在的我们会想当然，平滑的三角函数之和的极限是一个不连续的函数有何不妥？量变产生质变不是很正常吗？傅里叶就这样被拒稿了？但设身处地地想，直到十九世纪前，微积分的严密化仍未完成，那时的人们还困惑于无穷小量是什么的问题，甚至连函数的概念都局限于要处处有相同的解析表达式。因此即使要求拉格朗日这样的大数学家接受任意函数都可展开为三角级数的想法也是有些苛求的。

时隔15年，在拉格朗日逝世之后，也即是1822年，傅里叶才终于在法国科学院学报上发表了他的论文《热的解析理论》(Théorie analytique de la chaleur)。正是这篇论文，奠定了傅里叶的不朽名声。这部著作在物理上推导出了著名的热传导方程，并对量纲分析作出了重要贡献；在数学上，傅里叶声称，任意函数皆可展开为三角级数，并提出了傅里叶变换的概念。这个数学上的贡献真正使傅里叶声名远扬，也是我们接下来要讨论的重点内容。关于信号的不连续的情况，在多年之后由狄利克雷等数学家给出了完整的证明。傅里叶级数成立的条件也称为狄利克雷条件。

傅里叶之前的数学家虽然到了发现傅里叶级数意义的门槛边沿，但是却没有鉴别出摆在他们面前的是什么东西。傅里叶的才华表现在他讨论问题时已经运用了尚未真正建立的概念。当别人还在讨论连续函数时，他已在研究不连续函数；当积分还处于简单地作为反导数时，他已用积分作为面积；在收敛定义之前，他已谈到函数级数的收敛。傅里叶的工作是偏微分方程重要的一大步。傅里叶的工作迫使对函数概念作一修改，引入收敛的定义，重新检查积分的概念以及一致连续与一致收敛的概念。

为表彰傅里叶的贡献，科学界将这种数学分析方法称为傅里叶分析。对周期信号的分析称为傅里叶级数（Fourier Series, FS），对非周期信号的分析称为傅里叶变换（Fourier Transform, FT）。

傅里叶分析在信号处理领域之所以重要是因为它打开了一扇通往频域的大门。它告诉我们，在分析一个信号的时候，除了在时间域上观察，也能从频率域上观察，而且很多时候在频率域上往往更容易看清本质也更方便处理。信号，也即关于时间的函数，在不引起歧义的情况下，为表达方便，我们下面将混用“信号”和“函数”两个词。

参考文献¶

莫里斯·克莱因著，朱学贤等译. 古今数学思想，上海科技出版社，2003，第20，22，28章.
武娜. 傅里叶级数的起源和发展[D]. 河北师范大学, 2008.
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%C2%B7%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6